代数的整数論/第1章/単数

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テンプレート:Copyrights $1$の約数なる整数を単数という．

故に単数$\epsilon$とは$\epsilon$も$1/\epsilon$も共に整なる数である．従て単数の積及び商も単数である．

単数の共軛数も単数である．よって$\epsilon$を単数とすれば，$N\epsilon =\epsilon {\epsilon }^{\prime }{\epsilon }^{″}\cdots {\epsilon }^{(n-1)}$も単数であるが，それは有理整数であるから$\pm 1$に等しい．逆に$\alpha$が整数で，$N\alpha =\alpha {\alpha }^{\prime }\cdots {\alpha }^{(n-1)}=\pm 1$ならば，$\alpha$は単数である． テンプレート:代数的整数論/example$1$の巾根は単数である．テンプレート:代数的整数論/example-end テンプレート:代数的整数論/example$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$．故に$2\pm \sqrt{3}$は単数，従てそれの巾$(2\pm \sqrt{3}{)}^n$は単数である．$(2\pm \sqrt{3}{)}^n=x_n+y_n\sqrt{3}$とすれば，$x_n,y_n$は方程式$x^2-3y^2=1$の無数の整数解を与える．テンプレート:代数的整数論/example-end テンプレート:代数的整数論/remark代数的整数又はそれの整除の概念に，有理整数の場合のような数量的(大小)関係が混入されてはならない．例えば$2-\sqrt{3}$は整であるが，それは$1$よりも少だから，それの巾なる整数$(2-\sqrt{3}{)}^n$は$0$に集積する．$2$の約数は必ずしも小さい数ではない．例えば$100+\sqrt{9998}$は$2$の約数である． テンプレート:代数的整数論/remark-end

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